Wie berechnet man Quadratwurzel?

Was versteht man unter Quadratwurzel?

Die Quadratwurzel (englisch square root, kurz “sqrt”) einer nichtnegativen Zahl x ist jene (eindeutig bestimmte) nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich der gegebenen Zahl x ist. Das Symbol für die Quadratwurzel ist das Wurzelzeichen √, die Quadratwurzel der Zahl x wird also durch √x dargestellt. Dabei wird die Zahl beziehungsweise der Term x unter der Wurzel √x als Radikand bezeichnet.

Man kann die Quadratwurzel als Potenz ausdrücken: x^½ ist gleichwertig mit √x . Zum Beispiel ist wegen 4² = 4 * 4 = 16 und 4 ≥ 0 die Quadratwurzel von 16 gleich 4. Wurzelziehen bedeutet, zu einer gegebenen Zahl bzw. einem gegebenen Term einen anderen Term zu berechnen, der diesen Term als Quadrat hat.

Das Wurzelziehen ist eine Art umgekehrtes Quadrieren: Man sucht eine Zahl, so daß das Quadrat dieser Zahl unsere ursprüngliche Zahl ist.

Quadratwurzel einer Zahl

Die Quadratwurzel von 0 ist 0. Das Berechnen der Wurzel heißt auch „Wurzelziehen“ oder „Radizieren“. Das Berechnen der Wurzel ist also die Umkehrung des Quadrierens. Im Bereich der positiven Zahlen sind Radizieren und Quadrieren Umkehroperationen.

Zum Beispiel:
√169 = 13 , da 13 >= 0 und 13² = 169
√49 = 7 , da 7 >= 0 und 7² = 49
√0,36 = 0,6 , da 0,6 >= 0 und 0.6²=0,36
√(1/64) = 1/8 , da 1/8 >= 0 und (1/8)² = 1/64

Für positive ganze Zahlen, die keine Quadratzahlen sind, ist die Wurzel eine nichtperiodische Dezimalzahl mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma.

Zum Beispiel:
√23 = 4,79583152331….
√7 = 2,64575131106…
√13 = 3,605551275…
√17 = 4,12310562….

Quadratwurzelziehen

Beim Quadratwurzelziehen suchen wir nun also eine positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die gegebene Zahl ergibt. Beispiele (als Übersicht hier die Potenzen von 1-12):
1 = √2 denn 1 * 1 = 1
2 = √4 denn 2 * 2 = 4
3 = √9 denn 3 * 3 = 9
4 = √16 denn 4 * 4 = 16
5 = √25 denn 5 * 5 = 25
6 = √36 denn 6 * 6 = 36
7 = √49 denn 7 * 7 = 49
8 = √64 denn 8 * 8 = 64
9 = √81 denn 9 * 9 = 81
10 = √100 denn 10 * 10 = 100
11 = √121 denn 11 * 11 = 121
12 = √144 denn 12 * 12 = 144
usw.

Einfachstes Verfahren

Die Quadratwurzel wird bei der Intervallschachtelung durch wiederholtes Quadrieren berechnet. Als Beispiel: Berechne die Quadratwurzel aus 743 auf zwei Nachkommastellen genau.

Lösung:

1.Schritt:
27*27 = 729
28*28 = 784

also liegt die Quadratwurzel aus 743 zwischen 27 und 28.

2.Schritt:
27,2*27,2 = 739,84
27,3*27,3 = 745,29

die gesuchte Quadratwurzel liegt also zwischen 27,2 und 27,3

3.Schritt:
27,25*27,25 = 742,5625
27,26*27,26 = 743,1076

Hier ist 743,1076 nahe bei 743.

4.Schritt:
27,258*27,258 = 742,998564
27,259*27,259 = 743,053081

Die richtige Lösung auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet ist also 27,26.

 

Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki
http://www.mathepower.com
http://www.mathe-lexikon.at