Kegel, wie berechnest Du seine Oberfläche?

Kegel: Was ist das?

Ein Kegel (oder Konus) ist ein geometrischer Körper und die Menge aller Punkte, die sich zwischen einer vorgegebenen Kreisfläche und einem ausgezeichneten Punkt (der Kegelspitze) auf der Senkrechten durch den Kreismittelpunkt befinden.

Ein Kegel entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt (Spitze bzw. Apex) außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine Kreisscheibe, wird der Körper Kreiskegel genannt. In diesem Artikel befassen wir uns nur mit Kreiskegel.

Grundfläche und Mantelfläche eines Kreiskegels

Das Flächenstück eines Kegels nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve und den Punkt die Spitze oder den Scheitel des Kegels. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Unter der Höhe des Kegels versteht man einerseits das Lot von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer senkrecht zur Grundfläche), andererseits aber auch die Länge dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche). Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche.

Die Mantelfläche eines geraden Kreiskegels ist gekrümmt, aber zu einem Kreissektor abwickelbar. Der Radius dieses Sektors stimmt mit der Länge einer Mantellinie des Kegels überein. Die Mantellinien (die Verbindungsstrecken der Randpunkte des Basiskreises mit der Spitze) werden Erzeugende (Abk.”s”) genannt, da sie den Mantel sozusagen erzeugen.

Kegelmerkmale

* Das Wort “Kegel” kommt von mittelhochdeutsch “kegel” und bedeutet “Knüppel, Pflock, Stock”.

* Der Kegel hat 2 Flächen (Grund- und Mantelfläche, eine Ecke (die Spitze) und eine Seite (Kante, also die Kreislinie).

* Radius und Durchmesser des Kegels sind an der kreisförmigen Grundfläche zu messen.

* Die Kreislinie der Grundfläche wird auch “Leitkurve” genannt.

* Die Mantellinien sind alle Linien, die sich auf der Mantelfläche befinden und von der Leitkurve direkt zur Kegelspitze führen.

* Die direkte Strecke von der Spitze zum Mittelpunkt der Grundfläche ist die Höhe des Kegels. Die Höhe steht stets senkrecht auf der Grundfläche.

* Die Kegeloberfläche ergibt sich aus Addition der Mantelfläche und der Grundfläche.

Oberfläche Berechnung

Grundfläche eines Kreiskegels = A_G = r * r * pi
Mantelfläche eines geraden Kreiskegels = A_M = r * s * pi
Oberfläche eines geraden Kreiskegels = A_G + A_M = r * pi * (r + s)
pi = die Kreiszahl π = 3,14159…

Rechnungsbeispiele

1.Beispiel
Wir wissen die zwei Werte eines Kreiskegel: Radius (r) = 4 cm und Höhe (h) = 6 cm. Berechne die Oberfläche des Kegels!

Lösung:
Mantellinie (s) = √(h*h+r*r) = 7,211 cm.
Mantelfläche (A_M) = r * s * pi = 90,617 cm²
Grundfläche (A_G)= pi * r * r = 50,265 cm²
Oberfläche = A_M + A_G = 140,883 cm²

2. Beispiel
Wir wissen um diese zwei Werte eines Kreiskegel: Radius (r) = 15 m und Mantellinie (s) = 17 m. Berechne die Oberfläche des Kegels!

Lösung:
Mantelfläche (A_M) = r * s * pi = 801,106 m²
Grundfläche (A_G) = pi * r * r = 706,858 m²
Oberfläche = A_M + A_G = 1507,964 m²

 

Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kegel_(Geometrie)
https://www.matheretter.de/formeln/geometrie/kegel/