… und irrationale Zahlen
Einführung
Die erste Vorstellung von den Zahlen entstand beim Abzählen von Gegenständen. Als Ergebnis des Zählens ergaben sich die Zählen 1,2,3 usw. Man nennt diese jetzt natürliche Zahlen. Als nächstes entstand der Begriff des Bruches. Er entstand beim Messen von kontinuierlichen Größen. Die negativen Zahlen und die Null entstanden in der Mathematik im Laufe der Entwicklung der Algebra. Die ganzen Zahlen (d.h. die natürlichen Zahlen, die negativen Zahlen und die Null) und die Brühe bezeichnet man als rationale Zahlen, im Gegensatz zu den irrationalen Zahlen. Die rationalen und irrationalen Zahlen in ihrer Gesamtheit heißen reelle Zahlen.
Die reelle Zahlen
Die rationalen Zahlen lassen sich in der Form p/q angeben, wobei p = ganze Zahlen und q = natürliche Zahlen sind. Die irrationalen Zahlen beschreiben die Längen von Strecken, die mit der Maßstabeinheit inkommensurabel sind. Mit Hilfe der reellen Zahlen kann man die Längen aller Strecken genau beschreiben.
Reelle Zahlen sind alle Zahlen auf der Zahlengeraden von minus Unendlich über Null bis plus Unendlich. Bei der Analyse des Unendlichen können Erscheinungen auftreten, die im Endlichen dem gesunden Menschenverstand (der ja auch nur endlich ist!) widersprechen.
Mit unendlich ist wirklich nicht zu spaßen. Das kann man durchaus philosophisch verstehen. So gibt es, wie Du gesehen hast, unendlich viele natürliche Zahlen n und man kann sie sogar abzählen, also jeder von ihr eine Nummer geben. Aber zwischen jedes ihrer Paare, ob 0 und 1 oder 17 und 18, passen unendlich viele reelle Zahlen r (und die kann man nicht mehr durchnummerieren). „Überabzählbar unendlich“ nennt man das.
Die rationale Zahlen
Eine rationale Zahl ist eine reelle Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit dem Formelzeichen Q bezeichnet. Sie umfasst alle Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen, der sowohl im Zähler als auch im Nenner ganze Zahlen enthält.
Die genaue mathematische Definition beruht auf Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen. Die rationalen Zahlen werden – insbesondere in der Schulmathematik – auch als Bruchzahlen bezeichnet, während der Ausdruck Bruch (Dezimalbruch, Binärbruch, gewöhnlicher Bruch, gemischter Bruch …) für bestimmte Schreibweisen einer rationalen Zahl verwendet wird.
Rationale Zahlen werden als Brüche dargestellt, die man in Dezimalbrüche umrechnen kann. So ist
Der Oberstrich gibt an, welche Ziffernabfolge sich periodisch wiederholt. Rationale Zahlen haben entweder endende Dezimalbrüche oder sich periodisch wiederholende unendliche Dezimalbrüche. Jede solche Zahl kann in einen Bruch zurückverwandelt werden. Diese Umrechnung zurück ist für endliche Dezimalbrüche einfach, denn endliche Dezimalbrüche können immer als Bruch mit Zehnerpotenzen im Nenner geschrieben werden.
Die rationale Zahlen
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Kennzeichen einer irrationalen Zahl ist es damit, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darzustellen ist. Die Bezeichnung „Ratio“ bedeutet hier also Verhältnis, nicht aber Vernunft. Bekannte irrationale Zahlen sind beispielsweise die Wurzel aus Zwei 2 und das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnitts. Auch die eulersche Zahl e und die Kreiszahl π sind irrationale Zahlen und darüber hinaus transzendent.
Quelle:
https://de.wikipedia.org