… Siehe Beispiele
Elementare Algebra
Die Algebra kann, vereinfacht gesagt, als Lehre von den mathematischen Gleichungen angesehen werden. Die elementare Algebra ist die grundlegende Form der Algebra. In der allgemeinen Algebra werden zusätzlich auch über Zahlenbereiche hinausgehende Strukturen (Mengen und Verknüpfungen zwischen ihren Elementen) untersucht.
Im Sinne der Schulmathematik umfasst elementare Algebra die Rechenregeln der natürlichen, ganzen, gebrochenen und reellen Zahlen, den Umgang mit Ausdrücken, die Variablen enthalten, und Wege zur Lösung einfacher algebraischer Gleichungen. Elementare Algebra ist erstmal im alten Ägypten nachweisbar, die ältesten überlieferten Schriften stammen von cirka 2000 Jahre vor Christus.
Gleichungen
Unter einer Gleichung versteht man in der Mathematik eine Aussage über die Gleichheit zweier Terme, die mit Hilfe des Gleichheitszeichens („=“) symbolisiert wird. Formal hat eine Gleichung die Gestalt T1 = T2. Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen steht. Kommen in beiden Termen keine Variablen vor, dann ist die (Un)-Gleichung eine Aussage, andernfalls eine Aussageform.
Die Menge der Elemente, die man für die Variablen einsetzen darf, heißt Grundmenge oder Definitionsmenge. Diejenigen Elemente der Definitionsmenge, bei deren Einsetzung für die Variablen die (Un)-Gleichung zu einer wahren Aussage wird, heißen Lösungen der (Un)-Gleichung. Alle Lösungen fasst man zur Lösungsmenge L zusammen.
Ungleichungen
Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen < (Kleinerzeichen), = (Kleinergleichzeichen), = (Größergleichzeichen) oder > (Größerzeichen) verbunden sind. Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, zwischen denen ein Ungleichheitszeichen steht.
Beispiel: Quadratischer Gleichungen
Gegeben: zwei Quadrate mit den Seiten x und y wobei y = ¾ * x
sowie mit x2 + y2 = 100. Gesucht sind x und y
Lösung:
x2+ y2 = 100 = x2 + ( ¾ * x)2 = 16/16 * x2 + (9/16 * x2) = 25/16 * x2
x2 = 100 * 16/25 = 4 * 16 = 64
x = 8
y = ¾ * x = ¾ * 8 = 6
Beispiel: Direkter Dreisatz
5 kg Kartoffeln kosten 3,00 €. Wieviel kosten 4 kg Kartoffeln?
Lösung:
1 kg Kartoffeln kosten 3€/5 kg= 0,60€
4 kg Kartoffeln kosten 4 * 0,60€ = 2,40€
Beispiel: doppelter Dreisatz
7 Maschinen produzieren in 8 Tagen 224 Teile, wieviele Maschinen produzieren in 4 Tagen 320 Teile?
Lösung: 224 / 8 / 7 = 320 / 4 / x
4 = 80/x
x = 80/4 = 20 Maschinen
Beispiel: Produktgleichungen
Welche Lösungsmenge hat die folgende Gleichung?
3 * x * (x – 5) = 6 * (x – 5)
Lösung:
sortiere alle die Variable x beinhaltende Terme auf die linke Seite
3 * x * (x – 5) – 6 * (x – 5) = 0
Auf der linken Seite kann nun der Term (x-5) ausgeklammert werden. Daraus ergibt sich:
(3 * x – 6) * (x – 5) = 0
Ein Produkt hat genau dann den Wert Null, wenn einer der Faktoren Null ist. Die Gleichung ist somit in den folgenden beiden Fällen erfüllt:
3 * x – 6 = 0 (x=2)
x – 5 = 0 (x=5)
Die Lösungsmenge der Gleichung ist somit L={2;5}
Quelle:
http://www.grund-wissen.de
https://de.wikipedia.org/wiki
http://didaktik.mathematik.hu-berlin.de