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Prismen: Oberfläche und Mantelfläche Berechnungen

Kurze Einführung

Ein Prisma (mehrzahl: Prismen) ist ein geometrischer Körper dessen Seitenkanten parallel und gleich lang sind und der ein Vieleck als Grundfläche hat. Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur Fläche, spricht man von einem geraden Prisma, andernfalls von einem schiefen Prisma.

Ein Prisma ist ein spezielles Polyeder, wenn sein Mantel aus Rechtecken besteht. Ist die Grundfläche ein Kegelschnitt, so sprechen wir von einem Zylinder. Eine besondere Form des Prismas ist, neben dem Zylinder, der Hexaeder oder Würfel. Von jeder Seite betrachtet ist Würfel ein Prisma.

prismen

Prismen Merkmale

** Die Eckzahl der Grundfläche von Prismen bestimmt dessen Benennung.
** Die Grundfläche und die Deckfläche sind parallel zueinander und sind Vielecke.
** Ist die Grundfläche ein Dreieck, so heißt es dreiseitiges Pr (Ein Pr mit einem Dreieck als Grundfläche hat als Mantelfläche 3 Rechtecke).
** Ist die Grundfläche ein Viereck, so heißt es vierseitiges Pr (Ein Pr mit einem Viereck als Grundfläche hat als Mantelfläche 4 Rechtecke).
** Ist die Grundfläche ein Fünfeck, so heißt es fünfseitiges Pr (Ein Pr mit einem Fünfeck als Grundfläche hat als Mantelfläche 5 Rechtecke), usw.
** Es wird also nach seiner Grundfläche (Querschnittsfläche) benannt.
** Zwei gleiche Flächen sind nicht automatisch Grund- und Deckfläche! ** Der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche (= Körperhöhe) ist an jeder Stelle des Prismas gleich lang!

Bezeichnungen

Das gegebene Vieleck wird als Grundfläche bezeichnet, die andere dazu kongruente und parallele Begrenzungsfläche als Deckfläche. Die Gesamtheit aller übrigen Begrenzungsflächen heißt Mantelfläche. Diese besteht aus Parallelogrammen, im Spezialfall des geraden Prismas aus Rechtecken.

Die Formel

formel

Die Oberfläche O eines Prismas ergibt sich aus

O = 2 * AG + AM

wobei:
AG ist der Flächeninhalt der Grundfläche, und
AM ist die Mantelfläche eines geraden Prismas, und

wobei:
AM = UG * h, und
UG ist der Umfang der Grundfläche, und
h ist die Höhe des Prismas

Tipps zur richtigen Berechnung

* Genau prüfen, wie das Prisma aussieht, das in der Aufgabe gegeben ist!
* Grundfläche und Deckfläche suchen und prüfen, um welche Art der Fläche es sich dabei handelt.
* Grund und Deckfläche sind immer gleich!
* Rechne das Ergebnis aus und schau insbesondere bei den Maßeinheiten nach, ob es ein sinnvolles Ergebnis sein kann.
* Der Mantel des Prismas besteht aus so vielen Rechtecken, wie die Grundfläche Ecken hat!
* Richtige Formel für die jeweilige Fläche anwenden!

Beispiel

Die Grundfläche des Prisma besteht aus einem rechtwinkligen Dreieck. Die Katheten sind 12 cm und 9 cm lang und die Höhe h beträgt 25 cm. Die Mantelfläche und die Oberfläche sollen berechnet werden.

Lösung:
Für die Berechnung der Mantelfläche benötigen wir den Umfang der Grundfläche. Die Längen der Katheten haben wir, fehlt also noch die Länge der Hypotenuse. Die Summe dieser drei Längen ist dann der Umfang der Grundfläche des Prisma. Diesen Wert multiplizieren wir mit der Höhe h um AM zu erhalten.

Hypotenuse c = Würzel von (12*12 + 9*9) = 15 cm

UG = a + b + c = 12 cm + 9 cm + 15 cm = 36 cm
AM = UG * h = 36 cm * 25 cm = 900 cm2

Flächeninhalt der Grundfläche AG = 0,5 * a * b =
= 0,5 * 9 cm * 12 cm = 54 cm2

Oberfläche O = 2 * AG + AM = 2 * 54 cm2 + 900 cm2 = 1008 cm2

Quelle:
https://www.schulminator.com/mathematik/prisma
https://de.wikipedia.org
www.der-nachhilfe-lehrer.de

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