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Kreis: Wie findet man den Umfang, …

… den Radius und den Durchmesser?

Einführung über Kreis

Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die im gleichen Abstand von einem Kreismittelpunkt liegen. Er ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. kreisDer Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl.

Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie.

Anders als die Polygone, hat er keine geraden Kanten. Die alten Griechen – die viel von der Geometrie erfunden haben, wie wir sie heute kennen – waren der Meinung, er sei die perfekteste geometrische Figur und er war wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse.

Umfang

Im Rahmen der Elementargeometrie ist π das Verhältnis von Kreisumfang U zu dessen Durchmesser d, und zwar für beliebige Kreise. π ist die bekannteste irrationale Zahl ist, wobei gilt..

π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…

Beachte bitte, dass π nicht 3,1415… „ist“, sondern das Verhältnis aus Kreisumfang und Kreisdurchmesser, welches sich nach langen und schwierigen Überlegungen als eine Zahl mit einem unendlichen nichtperiodischen Dezimalbruch herausstellt, der zu einer transzendenten Zahl gehört.

Betrachten wir einen Kreis mit dem Radius r. Sein Durchmesser d = 2*r ist doppelt so groß wie der Radius. Wenn wir uns fragen, wie lang der Umfang U dieses Kreises ist, so stellen wir zuerst fest, dass sich unterschiedlich große Kreise mit eingezeichnetem Durchmesser allein durch ihre Größe unterscheiden, aber dieselbe Form haben.

Auf senkrecht von oben aufgenommenen Bildern sehen diese Skizzen alle wie ein Parkverbotsschild aus und sind ohne einen Maßstab nicht zu unterscheiden. Sie sind ähnlich. Somit ist das Verhältnis zwischen dem Umfang U und dem Durchmesser d unabhängig davon, wie groß unser Kreis ist, immer gleich groß.

Der Umfang ist proportional zum Durchmesser. Für den Proportionalitätsfaktor, also für das Verhältnis zwischen u und d, hat sich die Abkürzung π eingebürgert. Der Kreisumfang ergibt sich also als

U = π * d = 2 * π * r

weil der Durchmesser doppelt so groß wie der Radius ist. Manche sagen, sie könnten sich nicht merken, in welcher der beiden Formeln

U = π * d

und

U = 2 * π * r

die Zwei steht und in welcher nicht. Jeder, der die Begriffe Durchmesser und Radius kennt, kann über die Stellung der Zwei in den Umfangsformeln keinen Zweifel haben.

umfangradiusdurchmesser

Radius

Der Abstand jedes Punktes auf dem Kreis zum Kreismittelpunkt wird als Radius des Kreises bezeichnet. Eine Strecke, die den Mittelpunkt der Figur mit ihrem Rand verbindet, wird als Radius oder Halbmesser bezeichnet. Der Mittelpunkt eines Kreises ist der Punkt, der denselben Abstand von allen Punkten auf der Kreislinie hat. Dieser Abstand wird auch als der Radius des Kreises bezeichnet, kurz r.

Der Radius r entspricht dem halben Durchmesser d
r = d/2

Zum Kreisumfang U verhält sich der Radius wie folgt:
r = U/(2*π)

Zur Kreisfläche A verhält sich der Radius wie folgt:
r = Wurzel aus (A/π)

Durchmesser

Der Durchmesser eines Kreises oder einer Kugel ist der größtmögliche Abstand zweier Punkte der Kreislinie oder der Kugeloberflächenpunkte. Beim Kreis ist dies die längstmögliche Sehne. Das Verhältnis Umfang U eines Kreises zum Durchmesser d ist die Kreiszahl π = 3,141 59 …

Bei einem Kreis gilt daher: Durchmesser d = U/π = 2 *r

Quelle:
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis

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