So berechnet man Fläche, Winkel und Seiten von Dreieck

Einführung

Dreieck ist eine geometrische Figur und ein Dreieck hat drei Seiten und drei Ecken. Es handelt sich innerhalb der euklidischen Geometrie um die einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Seine Begrenzungslinien bezeichnet man als Seiten.

dreieck

In seinem Inneren spannen sich drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf, also der Winkel, der von den zwei an der Ecke endenden Seiten eingeschlossen wird. Die Summe aller Innenwinkel in einem Dreieck ist stets gleich 180 Grad. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks. Auch eine Verallgemeinerung des Dreiecksbegriffes auf nichteuklidische Geometrien ist möglich.

Dreieck

In der Trigonometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, spielen Dreiecke die wesentliche Rolle. Ein Dreieck wird durch drei Punkte definiert, die nicht auf einer Geraden liegen. Sie werden Ecken des Dreiecks genannt. Die Verbindungsstrecken zwischen je zwei Ecken heißen Seiten des Dreiecks. Das Dreieck unterteilt die Ebene in zwei Bereiche, das Äußere und das Innere des Dreiecks. Der von je zwei an einem Eckpunkt zusammentreffenden Seiten gebildete Winkel ist eine wichtige Größe zur Charakterisierung des Dreiecks.

Berechnungen

Den Flächeninhalt eines Dreieckes berechnet man, indem man eine beliebige Seite und die Höhe auf dieser Seite betrachtet. Der Flächeninhalt ist dann gleich (Seite*Höhe)/2. Die Seiten und Winkel kann man mit Hilfe von Sinus und Kosinus berechnen. Es gilt nämlich für zwei Seiten a und b und die gegenüberliegenden Winkel Alpha und Beta den sogenannte Sinussatz und Kosinussatz.

Sinussatz und Kosinussatz

Der Sinussatz ist einer der beiden wichtigen Sätze, um Winkel und Längenverhältnisse berechnen zu können. Er sagt aus, wie Seitenlängen mit Winkelgrößen zusammenhängen.

Sind a, b und c die Seiten eines Dreiecks mit Flächeninhalt A, α, β und γ die jeweils gegenüber liegenden Winkel und R der Radius des Umkreises, dann gilt mit der Sinusfunktion sin:

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Der Kosinussatz ist neben dem Sinussatz einer der beiden zentralen Sätze, um Seiten und Winkel eines Dreieckes berechnen zu können. Er ist vor allem nützlich, wenn man drei Seiten des Dreieckes gegeben hat, aber noch nichts über die Winkel weiß: mit seiner Hilfe kann man dann einen ersten Winkel berechnen.

Kosinussatz:   a² = b² + c² – 2bc cos alpha

Spezialfälle

Interessante Spezialfälle sind das rechtwinklige, gleichseitige und das gleichschenklige Dreieck.

Rechtwinklige Dreieck

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Ein Spezialfall des Kosinussatzes ist der Satz von Pythagoras, einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie.

 

 

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Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist.

 

Gleichseitiges Dreieck

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, dessen drei Seiten alle gleich lang sind.

gleichseitiges-dreieck1

Dann sind – beim Dreieck – auch alle drei Winkel gleich groß und betragen 60°.

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Gleichseitige Dreiecke sind also zugleich gleichwinklige oder reguläre Dreiecke, sie werden auch regelmäßige Dreiecke genannt. Alle gleichseitigen Dreiecke sind einander ähnlich.

Gleichschenkliges Dreieck

Es hat zwei gleich langen Seiten. Folglich sind auch die beiden Winkel gleich groß, die den gleich langen Seiten gegenüberliegen. Zur vollständigen Bestimmung werden zwei Bestimmungsstücke benötigt, davon zumindest eine Seite.

gleichschenkliges-dreieck1

gleichschenkliges-dreieck2

Die beiden gleich langen Seiten heißen Schenkel, die dritte Seite heißt Basis. Der der Basis gegenüberliegende Eckpunkt heißt Spitze. Die an die Basis anliegenden Winkel heißen Basiswinkel.

 

Quelle:
https://de.wikipedia.org
http://www.frustfrei-lernen.de
http://www.mathepower.com

 

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