Wie rechnet man das Volumen aus?

Einführung über Volumen

Im Alltag gibt es mit Sicherheit manche Situationen in welchen man sich fragt, wie man das richtige Volumen ausrechnet. Zur Berechnung des Volumens eines Körpers sind drei Größen nötig. Dies sind nähmlich die Höhe, die Breite und die Tiefe.

Die Berechnung des Volumens unterscheidet sich daher bei unterschiedlichen Körpern. Bei der Volumenberechnung einfacher Körper ist es sehr hilfreich, sich die jeweiligen Objekte zu skizzieren und gut zu beschriften. Dann wird man sich bei der Berechnung bzw. dem Einsetzen in die Formeln mit Sicherheit leichter tun.

Volumen

Es gilt

Für alle Volumenformeln gilt:
V = Volumen
G = Fläche der Seite
H = Höhe
R = Radius
D = Durchmesser
Pi = π = Kreiszahl (3,141592…)

Prisma

Volumenberechnung:
Volume (V) = Grundfläche G * Höhe H
V = G * h

Achtung: Formel ist gültig für gerades und schräges Prisma.

Würfel

Volumenberechnung: Grundfläche mal Höhe
V = G * H

Quader

Wenn Du das Volumen eines Quaders benötigst, dann brauchst Du hierfür die genau Breite, Höhe und Länge, zB in cm. Die Formel ist somit denkbar einfach und lautet: Volumen (V) = Länge*Breite*Höhe. Das Ergebnis wird dann in cm³ (Kubik) angegeben. Übrigens: Das Volumen V eines Quaders erhältst du, indem du ihn ganz mit Einheitswürfeln ausfüllst.

Pyramide

Wobei G = die Grundfläche der Pyramide und H = Höhe der Pyramide.
Die Formel lautet Volume (V) = (G * H)/3

Bemerkung: Die Grundfläche der Pyramide G kann ein beliebiges regelmäßiges Vieleck sein.

Kegel bzw Kreiskegel

Bei den Kegeln beschränkten wir uns an dieser Stelle, wie schon bei den Zylindern, auf solche mit einer kreisförmigen Grundfläche. Das Volumen ist gleich Grundfläche mal Höhe durch drei. Die Formel lautet Volume (V) = (G * H)/3. Genau wie bei Pyramide.

Kugel

Wenn Du das Volumen einer Kugel berechnen müsst, dann benötigst Du nur den Durchmesser der Kugel. Die Formel, aus welcher sich das Volumen berechnet, ist V = 1/6*Pi*Durchmesser³ oder
V = 4/3*π*r³ (mit dem Radius r).

Zylinder bzw Kreiszylinder

Bei Zylindern errechnet sich das Volumen anders. Die Formel hierfür lautet: V = Pi * (Radius der Grundfläche)2 * Höhe.

Praxisbeispiele

1.Beispiel
Das Volumen einer Vase errechnen. Wie geht das?
Antwort: Um das Volumen einer zylinderförmigen Vase zu errechnen, benötigst Du nur noch einen Meterstab und die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders.
Messe die Länge des Zylinders und den Durchmesser des Vasenbodens. Achte dabei darauf, die Glasdicke (insbesondere des Bodens) im Vorfeld abzuziehen.
Setze nun die Werte in die Formel Volumen (V) = Pi*Radius*Höhe ein. Somit erhältst Du die einen Kubikwert, welchen Du nur noch in Liter umrechnen müsst.
Wenn Du die Werte des Radius, der Höhe etc. in cm angegeben haben, so handelt es sich bei Deinem Ergebnis um Kubikzentimeter, denn 1000 cm³ sind gleich 1 Liter.

2.Beispiel
Ein Quader hat die Breite 3 m, die Tiefe 50 cm und die Höhe 15 cm. Du sollst die Breite in die kleinere Maßeinheit (cm) um, bevor Du multiplizierst. Also mit 3 m = 300 cm erhältst Du Volume (V) = Breite * Tiefe * Höhe = 300 cm * 50 cm * 15 cm = 225000 cm3.

 

Quelle:
http://berechnet.anleiter.de
http://www.helpster.de

 

Kegelvolumen berechnen? Geometrie ist Kinderspiel

 

Bevor wir das Kegelvolumen berechnen, sollten wir zunächst einmal festlegen, was genau einen Kegel ausmacht.

Was ist ein Kegel?

In der Geometrie ist ein Kegel, einfach ausgedrückt, eine Pyramide ohne Ecken, sie hat eine kreisförmige Grundfläche und läuft oben spitz zu, wie eine Pyramide. Er wird auch Kreiskegel genannt, aufgrund der kreisförmigen Grundfläche, ein Kegel kann aber auch eine andere Form haben, z.B. eine Ellipse. Das Volumen eines Kegel ist die Angabe, wieviel Platz innerhalb des Kegels ist. Das Volumen eines Kegels wird nach der Berechnung in Kubikeinheiten angegeben, also mit cm³ oder m³.  

Gerade und schiefe Kegel

Es gibt gerade und schiefe Kegel. Per Augenmaß erkennt man den Unterschied eigentlich schon sehr gut. Bei einem geraden Kegel liegt der Scheitelpunkt (die Spitze des Kegels) genau über dem Zentrum der Grundfläche. Bei einem schiefen Kegel liegt der Scheitelpunkt demzufolge nicht genau über der kreisförmigen Grundfläche – bei der Berechnung des Volumes ist es jedoch einerlei, ob es sich um einen schiefen (oder schrägen) oder geraden Kegel handelt, denn die Formel bleibt dieselbe, zumindest sofern die Grundfläche kreisförmig ist.

Die Bezeichnungen der Kegelmaße

Wenn du das Kegelvolumen berechnen willst, dann solltest du auch die Bezeichnungen für die Berechnung wissen. Die Bezeichnungen der einzelnen Teile des Kegels sind die Grundfläche (G), die Mantelfläche (M) und Mantelhöhe (m), die Oberfläche (O), das Volumen (V), und die Höhe (h).

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegels lautet V = G x h : 3.

Dies wird in den nächsten Schritten klar.

(1) Finde zunächst die Maße, die du zur Berechnung benötigst.

Um das Volumen eines Kegels zu berechnen, brauchst du zunächst den Radius (r) der kreisförmigen Grundfläche. Der Radius eines Kreises ist die Hälfte des Durchmessers. Hast du das Maß für den Radius oder den Durchmesser, dann ist das schon die halbe Formel. Wenn der Durchmesser bekannt ist, dann teile diesen durch 2, um den Radius zu erhalten. Mit Hilfe des Radius berechnest du die Grundfläche des Kegels, den Flächeninhalt. Die Grundfläche ist kreisförmig, daher verwendet man für die Berechnung des Flächeninhalts auch eine Kreisformel.

Die Formel lautet Flächeninhalt = Pi x Radius² .

“Pi” ist eine Konstante aus der Mathematik, die bereits in der Antike bekannt war, und deren Eigenschaften man sich dort bedient hat. Pi ist ein griechischer Buchstabe, der Anfangsbuchstabe des Wortes “Perimetros”, dies bedeutet “Umfang”. Eine Konstante ist eine nicht ganzzahlige Zahl, die klar definiert ist, und zur Berechnung verschiedener Maße verwendet wird, deren Eigenschaften auch fest definiert sind (wie z.B. ein Kreis). “Pi” steht für die Zahl 3,14.

Somit lautet die Formel Pi (= 3,14) x Radius²

Kegel-Volumen
Kegel-Volumen

Bildquelle

(2) Kegelvolumen berechnen

Mit dem Ergebnis aus dieser Berechnung (G) kann man nun das Volumen (V) des Kegels berechnen.

Die vollständige Formel für die Berechnung des Kegels lautet, inklusive der Kreisflächenberechnung: ⅓ x pi x r² x h.

Dies wird verdeutlicht an einem Beispiel:

In diesem Beispiel ist der Radius (r) 4 cm und die Höhe (h) beträgt 2 cm.

 

  1. V = 1/3 × 3.14 × 42 × 2
  2. V = 1/3 × 3.14 × 16 × 2
  3. V = 1/3 × 3.14 × 32
  4. V = 1/3 × 100.48
  5. V = 1/3 × 100.48/1
  6. V = (1 × 100.48)/(3 × 1)
  7. V = 100.48/3
  8. V = 33.49 cm3

Wir haben also die Grundfläche berechnet, und diese dann mit der Höhe des Kegels multipliziert und durch 3 dividiert. So einfach ist das.

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